Coordenador: Gerard Grimberg
Docentes Participantes: Penha Cardozo Dias, Thiago Hartz

Este projeto tem por objetivo principal o estudo da evolução conjunta da Geometria e da Mecânica do século XVIII até o século XX. Este estudo enfoca três momentos específicos:

1) A elaboração da geometria projetiva, que se iniciou com os trabalhos de Poncelet e Chasles, prosseguiu pelos estudos de curvas e superfícies algébricas definidas por polinômios homogêneos (Plücker, Sylvester, Cayley, Salmon) e possibilitou a construção de modelos das geometrias não-euclidianas a partir de um espaço projetivo definido por coordenadas homogêneas (Cayley, Klein). Um dos desdobramentos deste processo é a síntese por Clifford dos trabalhos de Hamilton e Grassmann.

2) A relação entre mecânica e geometria iniciada com os trabalhos de Clairaut e Monge no século XVIII, onde certas relações diferenciais e certos conceitos geométricos aparecem interligados. Os trabalhos de Euler, Lagrange e Lambert sobre as Cartas serão generalizados, no século seguinte, nas memórias de Gauss (Transformação conforme, e Memória sobre as Superfícies) e depois de Riemann, fornecendo assim uma outra possibilidade de construção de modelos de geometrias não-euclidianas (Beltrami).

3) O último processo a ser estudado é a relação entre princípios variacionais da Mecânica e as suas interpretações geométricas. Iniciada essencialmente por Euler e sobretudo por Lagrange, esta abordagem da mecânica se desenvolveu a partir dos trabalhos de Hamilton e Jacobi. Mais tarde, Cauchy, Clebsch e Hankel descobriram os primeiros invariantes em hidrodinâmica, que se passaram a ser chamados por Poincaré e Cartan de invariantes integrais.

Os princípios variacionais da mecânica estão muitas vezes ligados ao chamado problema de Pfaff, cuja resolução envolve métodos que se tornaram públicos em 1866 a partir da edição por Clebsch de um livro de Jacobi, Vorlesungen über Dynamik, seguido de um artigo do mesmo autor. A teoria geométrica de Lie e a teoria dos invariantes de Cartan são, conforme afirma o próprio Cartan, dois pontos de vista que visam resolver o problema de Pfaff.

Outro objetivo paralelo de nosso projeto consiste em estudar fontes antigas do nascimento da geometria, tanto euclidiana (Euclides) bem como projetiva (Pappus e os Porismos de Euclides) para determinar em que consiste um modelo intuitivo de uma axiomática na antiguidade, bem como tentar avaliar o legado das bases da geometria projetiva na Coleção matemática de Pappus.